群概形

维库，知识与思想的自由文库

[编辑] 定義

在代數幾何中，一個概形S上的群概形G是範疇Sch_S中的群對象。藉由米田信夫引理，我們可以給出兩種刻劃：

• 以乘法、單位元與逆元定義：存在Sch_S中的態射
  • 乘法：
  • 單位元：
  • 逆元：

並滿足結合律等等群的性質。

• 以函子性定義：點函子 透過遺忘函子 分解。。

換言之：對於任意的 S-概形 T，G(T)構成一個群；而且對任意S-態射 ，誘導映射 都是群同態。

• 代數群：設k為域，Spec(k)上的連通、光滑群概形稱作k上的代數群。

• 李代數：群概形G自然地作用在它的全體向量場上。G的全體左不變向量場稱作G的李代數，記為Lie(G)；它是S上的層。

[编辑] 例子

• 交換環譜 Spec(A) 的群概形結構一一對應到 A 的 Hopf代數結構。
• 阿貝爾簇：即一個域k上的真（proper）代數群，它們必然是可交換的。
• 線性代數群：即GL(n)中的閉子群。仿射代數群都是線性代數群，它們在表示理論及數論中佔有根本地位。Chevalley定理斷言：若k代數封閉，則對所有代數群G都存在短正合列 ，其中H是線性代數群而A是阿貝爾簇。在此意義下，所有代數群都是由阿貝爾簇與線性代數群建構而來。
• 設char(k) = p > 0，並考慮}- 的譜。這些群在拓樸上只有一個點，但其結構層帶有冪零元素。這些子群在代數群的研究中相當常見，同時也是理解char(k) > 0 時的代數群之重要關鍵。

[编辑] 文獻

• A. Borel, Linear Algebraic Groups 2nd enlarged edition (1991), Graduate Texts in Mathematics 126, Springer.
• M. Demazure et P. Gabriel, Groupes algébriques: Tome I (1970), PA Masson
• D. Mumford, Abelian Varieties (1970), Oxford Univ. Press