自旋1/2

物理上，自旋½表示一粒子所具有的內稟角動量(自旋)為 $\frac{\hbar}{2}$ ， $\hbar\,$ 是狄拉克常數，其中包括了電子、質子、中子、中微子與虧子(夸克)。自旋-½粒子在量子統計上屬於費米子，並遵守庖立不相容原理。

對自旋½粒子進行自旋性質的量子測量會得到兩個值。有兩個結果肇因於所存有的向量空間的維度。自旋½粒子的自旋量子態可以用一種兩個維度的複數值向量來描述，稱之為二元旋量。利用這種表示法，量子力學中的算符可寫成2乘2(2 x 2)的複數厄米矩陣。

自旋投影算符 $S z$ 意義上代表了沿著 $z\,$ 方向對自旋做的測量：

$S_z = \frac{\hbar}{2} \sigma _z = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$

$S z$ 算符有兩個本徵值—— $\pm \frac{\hbar}{2}$ ，有各自對應的本徵向量：

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \left \vert {s_z = +\frac 1 2} \right \rangle = | {\uparrow} \rangle$

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \left \vert {s_z = -\frac 1 2} \right \rang = | {\downarrow} \rang$

其構成描述自旋之希爾伯特空間的完整基底，即自旋的態可用這兩個態的線性組合來代表。這兩個態方便上稱之為「自旋向上」(spin up)與「自旋向下」(spin down)。

自旋算符S有些特質和軌道角動量算符L相同，但其他特質則不相同。

可為自旋½物體建構升降算符；其遵守和其他角動量算符相同的對易關係(交換關係)。

自旋投影算符的旋轉的兩個本徵值與前面相同(相應於測量的可能結果)，但本徵向量則不同——為向量自旋算符 $\mathbf{S} \cdot \hat{n}$ ；其中 $n\,$ 是一個順沿投影方向的單位向量，而

$\mathbf{S} = \frac{\hbar}{2} \mathbf{\sigma} = \frac{\hbar}{2} \left( \sigma _x \hat{x} + \sigma _y \hat{y} + \sigma _z \hat{z} \right)$ 。

這些 $\sigma\,$ 為庖立矩陣或稱庖立旋量。