自由對象

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在數學中，自由對象是抽象代數中的基本概念。就其通於各種代數結構（帶有限操作）而言，它也屬泛代數的一支，例子包括自由群、張量代數與自由格。在範疇論的框架下，可以將自由對象推廣為自由函子，這是遺忘函子的左伴隨函子。

[编辑] 自由函子

範疇論為自由對象提供了普遍框架。考慮一種代數結構（如群、模等等）的範疇 $\mathcal{C}$ 。其上具有一個遺忘函子 $U: \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ ，此函子將一個對象映至其下的集合；換言之，此函子「遺忘」所有代數操作。

若 $U$ 有左伴隨函子 $F: \mathbf{Set} \to \mathcal{C}$ ，則稱之為 $\mathcal{C}$ 的自由函子。 $F (X)$ 可以設想為由集合 $X$ 生成的自由對象，此時也有映射 $X \to F(X)$ （在此濫用了符號：其實 $F (X)$ 是個代數結構，而 $X$ 卻是集合），此映射可理解為從生成元到自由對象的包含映射。