自相关函数

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自相关函数（Autocorrelation function，缩写ACF）是信号处理、时间序列分析中常用的数学工具。

[编辑] 定义

自相关函数在不同的领域，定义不完全等效。在某些领域，自相关函数等同于自协方差(autocovariance)。

[编辑] 统计学

$R(k) = \frac{E[(X_i - \mu)(X_{i+k} - \mu)]}{\sigma^2}$

[编辑] 信号处理

$R_f(\tau) = f(\tau) * f^*(-\tau)= \int_{-\infty}^{\infty} f(t+\tau)f^*(t)\, dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f^*(t-\tau)\, dt$ ，其中“*”是卷积算符， $(\cdot)^*$ 为取共轭。

[编辑] 自相关函数的性质

以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维情况推广得到。

对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(−i)。连续型自相关函数为偶函数

当f为实函数时，有：

$R_f(-\tau) = R_f(\tau)\,$

当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足：

$R_f(-\tau) = R_f^*(\tau)\,$

其中星号表示共轭。

连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时 τ，均有 $|R_f(\tau)| \leq R_f(0)$ 。该结论可直接有柯西-施瓦兹不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。

周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。

两个相互无关的函数（即对于所有 τ，两函数的互相关均为0）之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。

由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。

连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除 τ = 0 之外的所有点均为0。

维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）表明，自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对：

$R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) e^{j 2 \pi f \tau} \, df$

$S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) e^{- j 2 \pi f \tau} \, d\tau.$

实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数，因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式：

$R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) \cos(2 \pi f \tau) \, df$

$S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) \cos(2 \pi f \tau) \, d\tau.$

[编辑] 自相关函数举例

白噪声的自相关函数为δ函数：

$r_{nn} = \mathbb{E} \{ n(t) n(t-\tau) \} = \delta ( \tau )$

[编辑] 参考文献

来自“http://www.wikilib.com/wiki/%E8%87%AA%E7%9B%B8%E5%85%B3%E5%87%BD%E6%95%B0”

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