蛇引理

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2个分类: 同调代数 | 来自中文维基百科

在同調代數中，蛇引理是構造長正合序列的關鍵工具，此引理在任何阿貝爾範疇中皆成立。依此構造的同態通常稱作連結同態。

[编辑] 敘述

考慮一阿貝爾範疇 $\mathcal{A}$ （例如阿貝爾群或模的範疇）中的交換圖：

使得每一橫列均為正合序列。此時存在一個聯繫 $a, b, c$ 的核與上核的正合序列：

此外，若 $f$ 是單射，則 $\ker a \to \ker b$ 亦然；若 $g$ 是滿射，則 $\mathrm{coker} b \to \mathrm{coker} c$ 亦然。

[编辑] 引蛇出洞

為了理解蛇引理的由來，觀察下圖：

並注意到：引理給出的正合序列可在此圖中畫成倒 S 狀的蛇形。

[编辑] 構造連接同態

核間的同態與上核間的同態很容易構造，它們由該圖的交換性自然導出，正合性也可以直接代定義驗證。重點在於連接同態 $d$ 及序列在該處的正合性。

對於模範疇的情形，同態 $d$ 可如是構造：

選定 $x \in \ker c$ ，並視之為 $C$ 的元素；由於 $g$ 是滿射，存在 $y \in B$ 滿足 $g (y) = x$ 。由圖的交換性，我們有

g (b (y)) = c (g (y)) = c (x) = 0

（因為 $x \in \ker c$ ）

於是 $b(y) \in \ker g$ 。由於底部的橫列正合，存在 $z \in A$ 使得 $f (z) = b (y)$ 。置 $d (x): = z + im(a)$ 。今須驗證 $d$ 是明確定義的，即 $d (x)$ 不依賴 $y, z$ 之選取；此外尚須驗證它是個同態，及序列的正合性。