複數 (數學)

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複數為實數的推廣, 它使任一多項式都有根。複數當中有個「虛單位」 $i$ ，它是 $- 1$ 的平方根，即 $i 2 = - 1$ 。任一複數都可表達為 $x + i y$ ，其中 $x$ 及 $y$ 皆為實數，稱為複數之「實部」和「虛部」。

複數的和及積是:

(a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d)

(a + i b) * (c + i d) = a c - b d + i (b c + a d)

複數的發現源於三次方程的根的表達式。數學上，「複」字表明所討論的數域為複數，如複矩陣、複變函數等。

[编辑] 歷史

最早有關負數方根的文獻出於公元 1世紀希臘數學家海倫，他考慮的是平頂金字塔不可能問題。16世紀意大利數學家（請參看塔塔利亞和卡爾達諾）得出一元三次和四次方程式的根的表達式，並發現即使只考慮實數根，仍不可避免面對負數方根。17世紀笛卡兒稱負數方根為虛數，「子虛烏有的數」，表達對此的無奈和不忿。18世紀初棣美弗及歐拉大力推動複數的接受。1730年，棣美弗提出棣美弗公式:

(cosθ + i sinθ) n = cos n θ + i sin n θ

，

而歐拉則在1748年提出分析學中的歐拉公式:

$\cos \theta + i \sin \theta = e ^{i \theta} \,$ 。

1799年，複數正式被接受，當時卡斯帕尔·韦塞尔提出複數可看作平面上的一點。數年後，高斯再提出此觀點並大力推廣，複數的研究開始高速發展。詫異的是，早於1685年約翰·沃利斯已經在《De Algebra tractatus》提出此一觀點。

卡斯帕尔·韦塞尔的文章發表在1799年的《Proceedings of the Copenhagen Academy》上，以當今標準來看，也是相當清楚和完備。他又考慮球體，得出四元數並以此提出完備的球面三角學理論。1804年，Abbé Buée 亦獨立地提出與沃利斯相似的觀點，即以 $\pm\sqrt{-1}$ 來表示平面上與實數軸垂直的單位線段。1806年，Buée的文章正式刊出，同年讓-羅貝爾·阿岡亦發表同類文章，而阿岡的複數平面成了標準。1831年高斯認為複數不夠普及，次年他發表了一篇備忘錄，奠定複數在數學的地位。柯西及阿贝尔的努力，掃除了複數使用的最於顧忌，後者更是首位以複數研究著名的。

複數吸引了著名數學家的注意，包括库默（1844年）、克罗内克 (1845年)、Scheffler（1845年、1851年、1880年）、Bellavitis（1835年、1852年）、喬治·皮庫克（1845年）及德·摩根（1849年）。默比乌斯發表了大量有關複數幾何的短文，約翰·彼得·狄利克雷將很多實數概念，例如質數，推廣至複數。

費迪南·艾森斯坦研究 $a + b j$ ，其中 $j$ 是 $x 3 - 1 = 0$ 的複根。其他如 $x k - 1 = 0$ ( $k$ 是質數)亦有考慮。類以推廣的先鋒為库默的完美數理論，經由菲利克斯·克莱因（1893年）以幾何角度加以簡化。伽羅華其後提出更一般的推廣，解決了高次多項式的根不能表達問題。

[编辑] 定義

[编辑] 複數域

複數可定義為實數 $a, b$ 組成的有序對, 而其相關之和及積為：

$( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) \,$

$( a , b ) \cdot ( c , d ) = ( ac - bd , bc + ad ) \,$

複數數系是一個域, 複數域常以 $\mathbb{C}$ 來表示。

一個實數 $a$ 等同於複數 $(a,0)$ , 故實數域為複數域的子域。虛單位 $i$ 就是複數 $(0,1)$ 。此外, 還有:

加法单位元(“零元”): (0, 0)
乘法单位元(“幺元”): (1, 0)
(a,b) 的加法逆元: (−a, −b)
非零 (a, b) 的乘法逆元(倒数): $\left({a\over a^2+b^2},{-b\over a^2+b^2}\right).$

複數域亦可定為代數數的拓撲閉包或實數域的幾何閉包。

[编辑] 複平面

z 和它的共轭在复平面中的几何表示。

复数 z 可以被看作在被称为阿岡圖(得名于让-罗贝尔·阿冈)的二维笛卡尔坐标系内的一个点或位置向量。这个点也就是这个复数 z 可以用笛卡尔(直角)坐标指定。复数的笛卡尔坐标是实部 x = Re(z) 和虚部 y = Im(z)。复数的笛卡尔坐标表示叫做复数的“笛卡尔形式”、“直角形式”或“代数形式”。

[编辑] 极坐标形式

作为替代，复数 z 可以用极坐标来指定。极坐标是叫做绝对值或模的 r = |z| ≥ 0 和叫做 z 的辐角的 φ = arg(z)。对于 r = 0，任何值的 φ 都描述同一个数。要得到唯一的表示，常规的选择是设置 arg(0) = 0。对于 r > 0 辐角 φ 模以 2π 后是唯一的；就是说，如果复数辐角的两个值只相差精确的 2π 的整数倍数，则它们被认为是等价的。要得到唯一表示，常规的选择是限制 φ 在区间 (-π,π] 内，就是 −π < φ ≤ π。复数的极坐标表示叫做复数的“极坐标形式”。

[编辑] 从极坐标形式到笛卡儿坐标形式的转换

$x = r \cos \varphi$

$y = r \sin \varphi$

[编辑] 从笛卡尔坐标形式到极坐标形式的转换

$r = \sqrt{x^2+y^2}$

$\varphi = \begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\ +\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\ -\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\ \mathrm{undefined} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0. \end{cases}$

前面的公式要求非常繁杂的情况区分。但是很多编程语言提供了经常叫做 atan2 一个变体的反正切函数来处理这些细节。使用反余弦函数的公式要求更少的情况区分:

$\varphi = \begin{cases} +\arccos\frac{x}{r} & \mbox{if } y \geq 0 \mbox{ and } r \ne 0\\ -\arccos\frac{x}{r} & \mbox{if } y < 0\\ \mathrm{undefined} & \mbox{if } r = 0. \end{cases}$

[编辑] 极坐标形式的符号

极坐标形式的符号

$z = r\,(\cos \varphi + i\sin \varphi )\,$

被叫做“三角形式”。有时使用符号 $cis \varphi$ 简写 cosφ + isinφ。使用欧拉公式还可以写为

$z = r\,\mathrm{e}^{i \varphi}\,,$

这叫做“指数形式”。

[编辑] 极坐标形式下的乘法、除法、指数和开方根

在极坐标形式下乘法、除法、指数和开方根要比笛卡尔形式下容易许多。

使用三角恒等式得到

$r_1\,e^{i\varphi_1} \cdot r_2\,e^{i\varphi_2} = r_1\,r_2\,e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} \,$

和

$\frac{r_1\,e^{i\varphi_1}}{r_2\,e^{i\varphi_2}} = \frac{r_1}{r_2}\,e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)}. \,$

依据棣美弗定理做整数幂的指数运算，

$\big(r\,e^{i\varphi}\big)^n = r^n\,e^{in\varphi}. \,$

任意复数幂的指数运算在条目指数函数中讨论。

两个复数的加法只是两个向量的向量加法，乘以一个固定复数的可以被看作同时旋转和伸缩。

乘以 i 对应于一个逆时针旋转 90 度(π/2 弧度)。方程 i² = −1 的几何意义是顺序的两个 90 度旋转导致一个 180 度(π 弧度)旋转。甚至算术中的 (−1) · (−1) = +1 都可以被在几何上被理解为两个 180 度旋转的组合。

任何数的所有方根，实数或复数的，都可以用简单的算法找到。n 次方根给出为

$\sqrt[n]{r e^{i\varphi}}=\sqrt[n]{r}\ e^{i\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}$

对于 k = 0, 1, 2, …, n − 1，这里的 $\sqrt[n]{r}$ 表示 r 的主 n 次方根。

[编辑] 絶對值、共軛與距離

$z = r e i φ$ ，则 $| z | = r$ 是 $z$ 的「絶對值」（「模」、「幅值」）。如果 $z = a + b i$ , 則 $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ .

對所有 $z$ 及 $w$ , 有

$| z + w | \leq | z | + | w | \,$

$| z w | = | z | \; | w | \,$

$\left| \frac{z}{w} \right| =\frac{| z |}{| w |} \,$ 。

當定義了距離 $d ( z , w ) = \left| z - w \right|$ ，複數域便成了度量空间, 我們亦可談極限和連續。加法，乘法及除法都是連續的運算。

$z = a + i b$ 的共軛複數定義為 $z = a - i b$ ，記作 $\overline{z}$ 或 $z *$ 。如圖所示， $\overline{z}$ 是 $z$ 在實數線的「倒映」。有

$\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}$

$\overline{zw} = \overline{z}\cdot\overline{w}$

$\overline{\left( \frac{z}{w} \right)} =\frac{ \overline{z}}{\overline{w}}$

$\overline{\overline{z}}=z$

$\overline{z}=z$ 當且僅當

z

是實數

$|z|=|\overline{z}|$

$|z|^2 = z\overline{z}$

$z^{-1} = \overline{z}|z|^{-2}$ 若 z 非零。這是計算乘法逆最常用的等式。

對於所有代數運算 $f$ ，共軛值是可交換 (commute) 的。這即是說 $f(\overline z) = \overline{f(z)}$ 。一些非代數運算如正弦「sin」亦有此性質。這是由於 $i$ 的不明確選擇 —— $x 2 = - 1$ 有二解。可是，共軛值是不可微分的 (參見全纯函数)。

一複數 $z = r e i φ$ 的「偏角」為 $φ$ 。此值對模 $2π$ 而言是唯一的。

[编辑] 矩陣表達式

這是個實用價值不大，但具數學意義的表達式，是將複數看作能旋轉及伸縮二維位置矢量的2×2實數矩陣，即是

$a+ib=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & \;\; a \end{pmatrix},$

其中 a 及 b 為實數。可算出此類矩陣的和、積及乘法逆都是此類矩陣。還有

$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & \;\; a \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & \;\; 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{pmatrix}$

即實數 1 對應着單位矩陣

$\begin{pmatrix} 1 & \;\; 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{pmatrix}$

而虛單位 i 對應着

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{pmatrix};$

此矩陣令平面作逆時鐘 90 度旋轉，它的平方就是 -1。

複數的絶對值就是行列式的平方根。這些矩陣對應相應的平面變換，其旋轉角度等於複數的徧角，改變比例等於複數的絶對值。複數的軛就是矩陣的轉置。

若矩陣中的 a 和 b 本來就是複數，則構成的代數便是四元數。由此，矩陣代表法可看成代數的Cayley-Dickson 構作法。

[编辑] 在复数上的运算的几何解释

X = A + B

X = AB

X = A*

考虑一个平面。一个点是原点 0。另一个点是单位 1。

两个点 A 和 B 的和是点 X = A + B 使得顶点 0, A, X 的三角形和顶点 X, B, 0 的三角形是全等的。

两个点 A 和 B 的积是点 X = AB 使得顶点 0, 1, A 的三角形和顶点 0, B, X 的三角形是相似的。

点 A 的共轭复数是点 X = A^* 使得顶点 0, 1, A 的三角形和顶点 0, 1, X 的三角形相互是镜像。

[编辑] 一些特性

[编辑] 實向量空間

C 是個二維實綫性空間。不同於實數域，複數域上不可能有與其算術相容的序: C 並非有序域。

[编辑] 多項式的根

滿足p(z) = 0的複數z 是多項式p 的“根”。代數基本定理指出，所有 n 次多項式，不管實數系數抑或複數系數的，都剛好有 n 個複數根（k重根按k个计算）。這定理等價於複數域是代數閉域。

事實上, 複數域是實數域的代數閉包。它是多項式環 R[X] 經由理想〈X² + 1〉顯生出的商環 :

$\mathbb{C} = \mathbb{R}[ X ] / ( X^2 + 1). \,$

這是一個域因為 X² + 1 為不可約多項式，而 X 在商環內對應着虛數單位 i。

[编辑] 代數特征

複數域 C 唯一(就域同構來說)的域擁有三項代數特征:

它的特征值是 0
它對質數域的超越度是實數的基數
它是代數閉的

而然, C 包含很多與 C同構的子域。

[编辑] 複分析

研究複變函數的理論稱為複分析。它在應用數學和其他數學分支上都有許多實際應用。實分析和數論的結果，最自然的証明經常是以複分析的技巧完成。（例子可見素數定理）

複變函數的圖像是四維的，所以不像實變函數般可以用平面圖像表示。要表示複變函數的圖像，可以用有顏色的三維圖像表達四維資訊，或者以動畫表示函數對複平面的動態變換。

[编辑] 應用

[编辑] 系统分析

在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法（Nyquist plot）和尼科尔斯图法（Nichols plot）都是在复平面上进行的。

无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点

位于右半平面，则因果系统不稳定；
都位于左半平面，则因果系统稳定；
位于虚轴上，则系统为临界稳定的。

如果系统的全部零点都位于右半平面，则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关于虚轴对称，则这是全通系统。

[编辑] 信号分析

信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z)表示给定频率的正弦波的相位。

利用傅里叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：

$f ( t ) = z e^{i\omega t} \,$

其中ω对应角频率，复数z 包含了幅度和相位的信息。

电路分析中，引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。（有时用字母j 作为虚数单位，以免与电流符号i 混淆。）

[编辑] 反常積分

在應用層面，複分析常用以計算某些實值的反常函數，藉由複值函數得出。方法有多種，見圍道積分方法。

[编辑] 量子力學

量子力學中複數是十分重要的, 因其理論是建基於複數域上 (無限維) 的希尔伯特空间。

[编辑] 相對論

如將時間變數視為虛數的話便可簡化一些狹義和廣義相對論中的時空度量 (Metric) 方程。

[编辑] 應用數學

實際應用中，求解給定差分方程模型的系統，通常首先找出線性差分方程對應的特徵方程的所有複特徵根r ，再將系統以形爲f(t) = e^rt的基函數的線性組合表示。

[编辑] 流體力學

複函數於流體力學中可描述二維勢流 (2D Potential Flow)。

[编辑] 碎形

一些碎形如曼德布罗集和朱利亚集 (Julia set) 是建基於複平面上的點的。

[编辑] 請參閱

[编辑] 延伸閱讀

An Imaginary Tale, by Paul J. Nahin; Princeton University Press; ISBN 0691027951 (hardcover, 1998). A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.

[编辑] 外部链接

從實數到複數，繆龍驥

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