0.999...

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在数学上，考虑0.999...是否是等于1或是一个非常接近于1的数字是一个陷阱。下面是两者在實數集相等的证明。

[编辑] 证明

$0.999\ldots$	$= \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots$
	$= -9 + \frac{9}{1} + \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots$
	$= -9 + 9 \times \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{10} \right)^k$
	$= -9 + 9 \times \frac{1}{1-\frac{1}{10}}$
	$= 1.\,$

[编辑] 解释

关键的一步是理解无限等比数列的收敛性:

$\sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{10} \right)^k = \frac{1}{1 - \frac{1}{10}}.$

[编辑] 問題

這種証明的問題是，暗地裡使用了極限法。

[编辑] 极限证法

$0.999\ldots=\lim_{n \to \infty} \left(0.9+0.09+0.009+\ldots+0.9 \times 0.1^n \right)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k = 0}^n\frac{0.9}{10^k}$

$=\lim_{n\to\infty} {0.9-0.9 \times 0.1^n \over 1-0.1}$

$= {0.9 \over 1-0.1}$

= 1

在无穷等比数列 $\left\{a_n \right\}$ 中 $a 1$ 为首项，公比q满足 $\left| q \right| < 1$ 时
该无穷等比数列的和 $S_n=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_1-a_1 q^n}{1-q}\right)=\frac{a_1}{1-q}$

[编辑] 另一种证法

这里还有一个没有使用很多数学知识的证明方法:

证明:

假设x等于0.999...

∵

10x−x = 9.999... − 0.999...

即

9x = 9

∴

x = 1

这个证明使用了实数的一個性质──沒有非零無限小。

[编辑] 分数证法

证明1:

∵

1/9=0.111...

2/9=0.222...

3/9=0.333...

4/9=0.444...

5/9=0.555...

6/9=0.666...

7/9=0.777...

8/9=0.888...

∴

1=9/9=0.999...

证明2:

9/9= 1/9 + 8/9

= 0.111... + 0.888...

= 0.999...

证明3:

$\begin{align} 0.333\dots &= \frac{1}{3} \\ 3 \times 0.333\dots &= 3 \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{3} \\ 0.999\dots &= 1 \end{align}$

[编辑] 問題

這類証明假定了 1/9=0.111... 、 1/3 = 0.333... 這類分數轉小數成立。

而

$0.111\ldots = {1 \over 10} + {1 \over 100} + {1 \over 1000} + \ldots = {1 \over 10} + {1 \over 10^2} + {1 \over 10^3} + \ldots$

$0.333\ldots = {3 \over 10} + {3 \over 100} + {3 \over 1000} + \ldots = {3 \over 10} + {3 \over 10^2} + {3 \over 10^3} + \ldots$

都要用到極限法或其他一些與實數相關的性質去証明。

[编辑] 最简单的证明

证明

∵

1/9=0.111...

∴

0.999...=1

Q.E.D.

[编辑] 反證法

证明

若 1≠0.999...

即是 1 與 0.999... 之間有數值存在

設 x 為 1 與 0.999... 之間的任意數值，使得 0.999... < x < 1

x 不存在，兩數之間沒有數值存在，故兩數相等

换言之，假定0.999...与1是不同的实数。那么，在(0.999..., 1)区间内必然存在无穷个实数。但实际上并不存在这样的实数；因此，原先的假设错误: 0.999... 与1并非不同的实数，它们相等。

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