费马大定理

费马大定理，也称費馬最後定理乃下述定理：

当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程

xⁿ + yⁿ = zⁿ.

的整数解都是平凡解，即

当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m)

当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0)

這個定理，本來又称费马猜想，由17世纪法国数学家费马提出。費馬宣稱他已找到一個絕妙證明。但經過三个半世紀的努力，這個世紀数论难题才由普林斯頓大學英國數學家安德魯·懷爾斯和他的學生理查·泰勒於1995年成功證明。證明利用了很多新的數學，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅華理論和Hecke代數等，令人懷疑費馬是否真的找到了正確證明。而安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)由于成功證明此定理，獲得了2005年度邵逸夫獎的數學獎。

[编辑] 歷史

1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）畢竟費馬沒有寫下证明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。

對很多不同的n，費馬定理早被證明了。但數學家對一般情況在首二百年內仍一籌莫展。

1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世後一百年內，第一个证明该定理的人，吸引了不少人嘗試並遞交他們的「證明」。在一戰之後，馬克大幅貶值，該定理的魅力也大大地下降。

1983年，en:Gerd Faltings證明了Mordell猜测，從而得出当n > 2时（n为整数），只存在有限组互質的a,b,c使得aⁿ + bⁿ = cⁿ。

1986年，Gerhard Frey 提出了“ ε-猜想”：若存在a,b,c使得aⁿ + bⁿ = cⁿ，即如果費馬大定理是錯的，則橢圓曲線

y² = x(x - aⁿ)(x + bⁿ)

會是谷山志村猜想的一個反例。Frey的猜想隨即被Kenneth Ribet證實。此猜想顯示了費馬大定理与橢圓曲線及模形式的密切關係。

1995年，懷爾斯和泰勒在一特例範圍内證明了谷山志村猜想，Frey的橢圓曲線剛好在這一特例範圍内，從而證明了費馬大定理。

懷爾斯證明費馬大定理的過程亦甚具戲劇性。他用了七年時間，在不為人知的情況下，得出了證明的大部分；然後於1993年6月在一個學術會議上宣佈了他的證明，並瞬即成為世界頭條。但在審批證明的過程中，專家發現了一個極嚴重的錯誤。懷爾斯和泰勒然後用了近一年時間嘗試補救，終在1994年9月以一個之前懷爾斯拋棄過的方法得到成功，這部份的證明與岩澤理論有關。他們的證明刊在1995年的数学年刊（en:Annals of Mathematics）之上。

[编辑] 参见

• 索菲熱爾曼素數
• 沃尔-孙-孙素数

[编辑] 外部連結

• Andrew Wiles: Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem, Annals of Mathematics 141 (1995), pp. 443-551, online at http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf
• R.Taylor and A.Wiles: Ring theoretic properties of certain Hecke algebras, Annals of Mathematics 141 (1995), pp. 553-572, online at http://abel.math.harvard.edu/~rtaylor/
• Gerd Faltings: The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles, Notices of the AMS July 1995, http://www.ams.org/notices/199507/faltings.pdf
• Charles Daney: The Mathematics of Fermat's Last Theorem, http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt01.htm
• J J O'Connor and E F Robertson: Fermat's last theorem, http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Fermat%27s_last_theorem.html. The history of the problem.
• David Shay: Fermat's last theorem, http://fermat.workjoke.com/. The story and the history of the problem.

[编辑] 參考書籍

• Fermat's Enigma (previously published under the title Fermat's Last Theorem), by Simon Singh; Bantam Books; ISBN 0802713319 (hardcover, September 1998)