转置矩阵

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在线性代数中，矩阵 A 的转置是另一个矩阵 A^T (也写做 A^tr, ^tA 或 A′) 由下列等价动作建立:

• 把 A 的横行写为 A^T 的纵列
• 把 A 的纵列写为 A^T 的横行

形式上说，m × n 矩阵 A 的转置是 n × m 矩阵

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注意（轉置矩陣）與（可逆矩陣）不同。

目录 1 例子 2 性质 3 特殊转置矩阵 4 线性映射的转置 5 外部链接

[编辑] 例子

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[编辑] 性质

对于矩阵 A, B 和标量 c 转置有下列性质:

1. 

   转置是自身逆运算。

2. 

   转置是从 m × n 矩阵的向量空间到所有 n × m 矩阵的向量空间的线性映射。

3. 

   注意因子反转的次序。以此可推出方块矩阵 A 是可逆矩阵，当且仅当 A^T 是可逆矩阵，在这种情况下有 (A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹。相对容易的把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况，可得出 (ABC...XYZ)^T = Z^TY^TX^T...C^TB^TA^T。

4. 

   标量的转置是同样的标量。

5. 

   矩阵的转置矩阵的行列式同于这个矩阵的行列式。

6. 两个纵列向量 a 和 b 的点积可计算为

   

7. 如果 A 只有实数元素，则 A^TA 是正半定矩阵。
8. 如果 A 是在某个域上，则 A 相似于 A^T。

[编辑] 特殊转置矩阵

其转置等于自身的方块矩阵叫做对称矩阵；就是说 A 是对称的，如果

其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵叫做正交矩阵；就是说 G 是正交的，如果

  I是单位矩阵。

其转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做斜对称矩阵；就是 A 是斜对称的，如果

复数矩阵 A 的共轭转置，写为 A^*，是 A 的转置加上取每个元素的共轭复数:

[编辑] 线性映射的转置

如果 f: V→W 是在向量空间 V 和 W 之间非退化双线性形式的线性映射，我们定义 f 的转置为线性映射 ^tf : W→V，确定自

这里的，B_V 和 B_W 分别是在 V 和 W 上的双线性形式。一个映射的转置的矩阵是转置矩阵，只要基是关于它们的双线性形式是正交的。

在复向量空间上，经常用到半双线性形式来替代双线性形式。在这种空间之间的映射的转置可类似的定义，转置映射的矩阵由共轭转置矩阵给出，如果基是正交的。在这种情况下，转置也叫做Hermitian伴随。

如果 V 和 W 没有双线性形式，则线性映射 f: V→W 的转置只能定义为在对偶空间 W 和 V 之间的线性映射 ^tf : W^*→V^*。

[编辑] 外部链接

• MIT Video Lecture on Matrix Transposes at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• Transpose, mathworld.wolfram.com
• Transpose, planetmath.org