运动学

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运动学是力学的一部分。它专门描述物体的运动，就是物体在空间中位置随时间的变化，而不涉及力和质量等等那些造成运动的因素。明显不同的，动力学则是研究力与其作用在物体上而产生的运动。

William Heytesbury（1313前–1372/3）在十四世纪已经开始研究速度与加速度这方面的问题。他发表了平均速度定理：在同时间内，如果等速度物体的速度是等加速度物体的最终速度的一半，则此二物体移动的距离相等。伽利略（1564 –1642）最先有系统的研究等加速运动。伽利略变换给予了牛顿运动定律坚实的架构；只有在近光速的情况，才必须改用较经精准而难解的洛仑兹变换来计算。

勒奈·笛卡尔在1637年创建了直角座标系，又称卡式座标系。用这座标系的两个正交座标轴为测量尺，平面上任何一点的位置都可以用一对数值来表示。在十七世纪中期，Grégoire de Saint-Vincent 与 Bonaventura Cavalieri 各自发表了极座标系的概念。曲线座标系是被法国数学家 Gabriel Lamé 定名的；意思是曲线座标的坐标平面皆乃曲线平面。艾萨克·牛顿在他的作品微积分方法（1736年发表）鉴查极座标系统与九种不同座标系统之间的互相变换。

[编辑] 平移运动

任何一个物体，车子、火箭、星球等等，不论它的尺寸大小，如果能够忽略它的旋转运动，如果它内部每一部份都是朝相同的方向、以相同的速度移动，那末，可以简易的将此物体视为质点；将此物体的质心当作质点的位置；将此物体的运动用平移运动来计算。平移运动可分为两种：直线运动、曲线运动。

[编辑] 直线运动

在直线运动中，质点沿着直线移动。如果将一个一维座标系统的座标轴放在这直线上，那末，就可以用座标值来导出位置、速度、加速度等等。定义位置为根据座标系统来测量质点的地点所得到的数值。定义位移为质点运动的最终位置与最初位置之间的差距。假设一个质点 A 在进行直线运动；在时间是 $t$ 时，质点 A 的位置是 $x$ ；在 $Δ t$ 时间间隔后，时间是 $t + Δ t$ ，质点 A 的位置是 $x + Δ x$ 。那末，位移是 $Δ x$ 。速度是位置随时间的变率。质点 A 的速度为∶

平均速度 $\overline{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

瞬时速度 $v=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}$

类似的，加速度是速度随时间的变率。质点 A 的加速度是：

平均加速度 $\overline{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

瞬时加速度 $a=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}$

代进 $v$ 的方程式：

$a=\frac{d^2x}{dt^2}$

[编辑] 等速直线运动

等速直线运动的加速度是 0；速度 $v$ 是常数；位置则是

$x_f=x_i+vt\qquad$

在这里， $x i$ 是最初位置； $x f$ 是最终位置。

[编辑] 等加速直线运动

等加速直线运动的加速度 $a$ 是常数。速度与位移则是

$x_f - x_i = v_i t + \frac{1}{2} at^2 \qquad\qquad x_f - x_i = \frac{1}{2} (v_f + v_i)t$ $v_f = v_i + a t \qquad\qquad v_f^2 = v_i^2 + 2 a (x_f - x_i)$

在这里， $x i$ 是最初位置； $x f$ 是最终位置； $v i$ 是最初速度； $v f$ 是最初速度。

等加速直线运动实例

多质点相对运动

思考两个质点 A, B 在同一直线上移动。如同右图表示，它们的位置分别为 $x A$ 、 $x B$ ，那末，B 与 A 的相对位置是

x B / A = x B - x A

若 A 与 B 的速度分别为 $v A$ 、 $v B$ ，则 B 与 A 的相对速度是

v B / A = v B - v A

类似的，如果 A 与 B 的加速度分别为 $a A$ 、 $a B$ ，则 B 与 A 的相对加速度是

a B / A = a B - a A

当速度接近光速时，这些依据伽利略变换而得到的相对运动公式不再准确；必须改用狭义相对论。

[编辑] 曲线运动

如果质点在空间中沿着曲线移动，则称此运动为曲线运动。曲线运动的位置、速度、加速度等等、皆须用多维向量来表示。假设质点 A 的位置是 $\vec{r}$ ；质点 A 在间隔 $Δ t$ 时间后的位移是 $\Delta \vec{r}$ 、位置是 $\vec{r}+\Delta \vec{r}$ 。那末，质点 A 的速度是

$\vec{v}=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\frac{d\vec{r}}{dt}$

定义速率为速度的大小。假设这曲线从 $\vec{r}$ 到 $\vec{r}+\Delta \vec{r}$ 的路径长度是 $Δ s$ 。那末，速率为

$v=\begin{vmatrix}\vec{v}\end{vmatrix}=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}$

假设质点 A 在间隔 $Δ t$ 时间的速度差值是 $\Delta \vec{v}$ 。那末，类似的，加速度是

$\vec{a}=\lim_{{\Delta t}\to 0}\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\frac{d\vec{v}}{dt}$

求解曲线运动问题时，选择合适的座标系统是一项非常重要的步骤。运动的限制、或作用力的几何特性，往往是决定合适座标的主要因素。假设，我们限制一粒串珠只能绕圆环移动，那末，合适的坐标可能是以圆心为顶点，包含串珠与圆环另一点的角之角度。类似的，如果作用在质点的力是中心力，那末，合适的座标系统可能是极座标系统。

[编辑] 直角座标系

在直角座标系内，位置、速度、加速度可被表示为

$\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$

$\vec{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k}$

$\vec{a}=a_x\hat{i}+a_y\hat{j}+a_z\hat{k}$

这里， $x$ 、 $y$ 、 $z$ 分别是质点 A 位置的三个作标。还有，

$v_x=\frac{dx}{dt} \qquad \qquad v_y=\frac{dy}{dt}\qquad \qquad v_z=\frac{dz}{dt}$

$a_x=\frac{dv_x}{dt} \qquad\qquad a_y=\frac{dv_y}{dt}\qquad \qquad a_z=\frac{dv_z}{dt}$

等加速曲线运动实例

[编辑] 极座标系

极坐标系用两个座标 (半径座标 $r$ 、角座标 $θ$ ) 来表示点的位置。半径座标是点与原点的距离；角座标是点与原点的连线对 X-轴的角度。．极坐标系的两个座标轴，半径座标轴 ( $r$ -轴) 与角座标轴 ( $θ$ -轴)，分别是将 X-轴与 Y-轴依照逆时针方向旋转角度 $θ$ 得来的。那末，位置、速度、加速度可被表示为

$\vec{r}=r\hat{r}$

$\vec{v}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta}\hat{\theta}$

$\vec{a}=(\ddot{r} - r \dot{\theta}^2)\hat{r}+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta}$

这里， $\hat{r}$ 是半径单位质量。 $\hat{\theta}$ 是角单位质量。

[编辑] 曲线座标系

许多向量分析的概念，梯度、散度、旋度，都能用曲线座标以精省的架构，简易的推导出准确而通用的公式来分析与了解。

如图右，假设一个质点在进行平面移动。随着每一时间 $t$ ，相应于质点位置 $P$ 点有一对单位向量：正切单位向量 $\hat{h}_t$ 、正交单位向量 $\hat{h}_n$ 。这些是曲线座标系里，分别与两个座标轴同向的单位向量。 $\hat{h}_t$ 与 $P$ 点的切线平行，指向质点 A 移动的方向； $\hat{h}_n$ 则垂直于 $\hat{h}_t$ ，是移动曲线弯曲的方向。那末，速度、加速度可被表示为