内部 (数学)

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数学上，集合 S 的内部（interior，又稱開核 open kernel）含有所有直观上“不在 S 的边界上”的点。S 的内部中的点称为 S 的内点。内部的概念在很多情况下和闭包的概念对偶，其關係請參見「闭包」的條目。

目录 1 定义 1.1 内点 1.2 集合的内部 2 举例 3 外部 4 參見

[编辑] 定义

[编辑] 内点

若 S 为欧几里德空间的子集，则 x 是 S 的内点，若存在以 x 为中心的开球被包含于 S。

这个定义可以推广到度量空间 X 的任意子集 S。具体地说，对具有度量 d 的度量空间 X，x 是 S 的内点，若对任意 r > 0，存在 y 属于 S，且 d(x, y) < r。

这个定义也可以推广到拓扑空间，只需要用邻域替代“开球”。 设 S 是拓扑空间 X 的子集，则 x 是 S 的内点，若存在 x 邻域被包含于 S。注意，这个定义并不要求邻域是开的。

[编辑] 集合的内部

集合 S 的内部是 S 的所有内点组成的集合。S 的内部写作 int(S)、Int(S) 或 S^o。集合的内部满足下列性质：

• int(S) 是 S 的开子集。
• int(S) 是所有包含于 S 的开集的并集。
• int(S) 是包含于 S 的最大的开集。
• 集合 S 是开集，当且仅当 S = int(S)。
• int(int(S)) = int(S)。（幂等）
• 若 S 为 T 的子集，则 int(S) 是 int(T) 的子集。
• 若 A 为开集，则 A 是 S 的子集，当且仅当 A 是 int(S) 的子集。

有时候，上述第二或第三条性质会被作为拓扑内部的定义。

[编辑] 举例

• 在任意空间，空集的内部是空集。
• 对任意空间 X, int(X) = X.
• 若 X 为实数的欧几里德空间 R，则 int([0, 1]) = (0, 1)。
• 若 X 为实数的欧几里德空间 R，则有理数集合 Q 的内部是空集。
• 若 X 为複平面 C = R²，则 int({z 属于 C : |z| ≥ 1}) = {z in C : |z| > 1}。
• 在任意欧几里德空间，任意有限集合的内部是空集。

在实数集上，除了标准拓扑，还可以使用其他的拓扑结构。

• 若 X = R，且 R 有下限拓扑，则 int([0, 1]) = [0, 1)。
• 若考虑 R 中所有集合都是开集的拓扑，则 int([0, 1]) = [0, 1]。
• 若考虑 R 中只有空集和 R 自身是开集的拓扑，则 int([0, 1]) 是空集。

上述示例中集合的内部取决于背景空间的拓扑。接下来给出的两个示例比较特殊。

• 在任意离散空间中，由于所有集合都是开集，所以所有集合都等于其内部。
• 在任意非离散空间 X 中，由于只有空集和 X 自身是开集，所以 int(X) = X 且对 X 的所有真子集 A，int(A) 是空集。

[编辑] 外部

在拓樸空間X內，集S的外部（exterior）是S的餘集的內部，即所有與S不相交的開集的聯集。外部可表示為ext(S)或S^e。S的外點是S的外部的元素。

[编辑] 參見

• 内部代数

点集拓扑系列 (编辑)
拓扑空间、同胚、子拓扑、积拓扑、商拓扑、序拓扑
邻域、内点、边界点、外点、極限點、孤点
基、準基、局部基、开集、闭集、开核、闭包
连通空间、道路连通空间、不可約空間
紧性：紧、可数紧、序列紧、聚点紧、局部紧
可数性：第一可數、第二可數、可分性、Lindelöf空間
分离性： T0 | T1 | T2 | T2½ | 完全T2 | T3 | T3½ | T4 | T5
Тихонов定理、Urysohn引理、度量化定理