闵可夫斯基不等式

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在数学中，闵可夫斯基不等式（Минковского不等式）表明L^p空间是一个赋范向量空间。设 $S$ 是一个度量空间， $1 \le p\le \infty , f ,g \in L^p(S)$ ，那么 $f + g \in L^p(S)$ ，我们有：

$\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p$

如果 $1 < p< \infty$ ，等号成立当且仅当 $\exists k\le 0,f = kg$ ，或者 $g = k f$

闵可夫斯基不等式是 $L p (S)$ 中的三角不等式。它可以用Hölder不等式来证明。和Hölder不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：

$\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}$

对所有实数 $x_1,\cdots , x_n, y_1, \cdots, y_n$ ，这里 $n$ 是 $S$ 的维数；改成复数同样成立，没有任何难处。

值得指出的是，如果 $x_1,\cdots , x_n, y_1, \cdots, y_n > 0$ ， $p < 1$ ，则 $\le$ 可以变为 $\ge$ 。

[编辑] 积分形式的证明

我们考虑 $\|f+g\|_p$ 的 $p$ 次幂有：

$\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}*p}=\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx$

（用三角形不等式展开 $| f (x) + g (x) |$ ）

$\leq\int_{a}^{b}|f(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx+\int_{a}^{b}|g(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx$

（用 Hölder不等式）

$\leq\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{q\left(p-1\right)}dx\right)^{\frac{1}{q}}+ \left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{q\left(p-1\right)}dx\right)^{\frac{1}{q}}$

$=\left[\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\right]\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{qp-q}dx\right)^{\frac{1}{q}}$

（利用 $p = q p - q$ ，因为 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ）

$\leq\left[\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\right]\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}*\frac{p}{q}}$

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项，除以最后那个表达式的后面那个因子，我们得到:

$\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}\left(p-\frac{p}{q}\right)}\leq\left[\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\right]$

因为 $p-\frac{p}{q}=1$ ，我们最终得出：

$\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\leq\left[\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\right]$