閔可夫斯基時空

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阿爾伯特·愛因斯坦在瑞士蘇黎世聯邦科技大學(Eidgenössische Technische Hochschule, ETH; Swiss Federal Institute of Technology)時期的數學老師赫爾曼·閔可夫斯基在愛因斯坦提出狹義相對論之後，於1907年將愛因斯坦與亨德里克·洛侖茲的理論結果重新表述成(3+1)維的時空，其中光速在各個慣性參考系皆為定值，這樣的時空即以其為名，稱為閔可夫斯基時空，或稱閔可夫斯基空間。

愛因斯坦一開始不認為這樣的表述有何重要性，但當他1907年開始轉往廣義相對論發展時，發現閔可夫斯基時空可說是其所要發展的理論架構的基礎，轉而對這樣的表述採取高的評價。

[编辑] 標準基底

閔可夫斯基時空的一組常用標準基底是四個互相正交的向量的集合(e₀, e₁, e₂, e₃) 使得

$-\left(e_0\right)^2 = (e_1)^2 = (e_2)^2 = (e_3)^2 = 1$

這些條件可以更簡要地寫成如下形式：

$\langle e_\mu, e_\nu \rangle = \eta_{\mu\nu}$

其中μ與ν涵蓋的數值有(0, 1, 2, 3)，而矩陣η為

$\eta = \begin{pmatrix} -1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{pmatrix}$

相對於一組標準基底，一向量 $V$ 的分量可以寫作 $(V 0, V 1, V 2, V 3)$ ，並且我們使用愛因斯坦標記來寫 $V = V^\mu e_\mu\,$ 。分量 $V 0$ 稱作 $V$ 的「類時分量」(timelike component)，而其他三個分量則稱作「類空分量」(spatial components)。

以分量來寫，兩個向量 $V$ 與 $W$ 間的內積可寫成

$\langle V,W\rangle = \eta_{\mu\nu}V^\mu W^\nu = -V^0W^0 + V^1W^1 + V^2W^2 + V^3W^3$ ，

而一向量 $V$ 的範數(norm)平方值為

$V^2 = \eta_{\mu\nu}V^\mu V^\nu = -(V^0)^2+(V^1)^2+(V^2)^2+(V^3)^2\,$ 。

[编辑] 因果結構

4-向量依據它們（閔可夫斯基）內積的正負號來區分。4-向量 $U$ 、 $V$ 與 $W$ 可分類如下：

$V$ 是類時(timelike)，若且唯若 $\eta_{\mu \nu}V^\mu V^\nu \, = V^\mu V_\mu < 0$
$U$ 是類空(spacelike)，若且唯若 $\eta_{\mu \nu }U^\mu U^\nu \, = U^\mu U_\mu > 0$
$W$ 是零(null)或稱類光(lightlike)，若且唯若 $\eta_{\mu \nu}W^\mu W^\nu \, =W^\mu W_\mu = 0$