阿达马不等式

数学中的阿达马不等式从上限制了n维歐幾里得空間中，由n支向量 $\mathbf{v}_1$ , $\mathbf{v}_2$ , $\ldots \mathbf{v}_n$ 标出的体积。

这不等式的几何意义是当向量为正交集时体积最大。这结果相对于纯量乘法是同质的，所以只需证明单位向量 $\mathbf{e}_1$ , $\mathbf{e}_2$ , $\ldots \mathbf{e}_n$ 的结果。在这情况，不等式指出：若 $\mathbf M$ 是以 $\mathbf{e}_i$ 为列向量的n× n 矩阵，则

$|\det(\mathbf{M})| \leq 1$ 。

因此，向量 $\mathbf{v}_i$ 的相应结果是

$|\det(\mathbf{A})| \leq \prod \|\mathbf{v}_i\|$ ，

其中 $\mathbf A$ 是以 $\mathbf{v}_i$ 为列向量的矩阵，而 $\|\mathbf{v}_i\|$ 是 $\mathbf{v}_i$ 的歐幾里得范数（长度）。（就是說若 $\mathbf{v}_i$ $=(x_k)_{k=1}^n$ ，則

$\|\mathbf{v}_i\|$ $= \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}$ 。）

在组合数学中，使等式成立以及列向量 $\mathbf{v}_i$ 的元素为+1和−1的矩阵是研究对象，它们称为阿达马矩阵。

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