零空间

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2个分类: 線性代數 | 来自中文维基百科

在数学中，一个算子 A 的零空间是方程 Av = 0 的所有解 v 的集合。它也叫做 A 的核。用集合建造符号表示为

$\hbox{Null}(A) = \{\mathbf{v} \in V : A\mathbf{v} = \mathbf{0} \}.$

尽管术语核更加常用，术语零空间有时用在避免混淆于积分核的情境中。应当避免把零空间混淆于零向量空间，它是只有零向量的空间。

如果算子是在向量空间上的线性算子，零空间就是线性子空间。因此零空间是向量空间。

[编辑] 例子

考虑定义于实数 $x$ 和 $y$ 的函数 $f (x, y) = x - y$ ，它线性为 $f (x + z, y + w) = (x + z) - (y + w) = f (x, y) + f (z, w)$ 。它的零空间由其第一个和第二个坐标一致的所有向量组成，就是说描述了一条直线的集合 { $(x, x)$ : $x$ 是实数}。

固定一个实数向量 $y$ 并定义一个线性映射 $f$ 为实数向量 $x$ 和 $y$ 的点积。它的零空间由零向量和所有正交于 $y$ 的向量组成。

[编辑] 性质

如果 A 是矩阵，它的零空间就是所有向量的空间的线性子空间。这个线性子空间的维度叫做 A 的零维度(nullity)。这可以计算为在矩阵 A 的行梯阵形式中不包含支点的纵列数。秩-零维度定理声称任何矩阵的秩加上它的零维度等于这个矩阵的纵列数。

对应于零奇异值的 A 的右奇异向量形成了 A 的零空间的基。

A 的零空间可以用来找到和表达方程 Ax = b 的所有解(完全解)。如果 x₁ 解这个方程，它被叫做特定解。方程的完全解等于它的特定解加上来自零空间的任何向量。特定解依 b 而变化，而零空间的向量不是。

要证实这项工作，我们考虑每个方向。在一个方向上，如果 Ay = b，且 Av = 0，则明显的 A(y+v) = Ay+Av = b+0 = b。所以 y+v 也是 Ax=b 的解。在其他方向上，如果我们有对 Ax=b 的另一个解 z，则 A(z−y) = Az−Ay = b−b = 0。所以向量 u = z−y 在 A 的零空间中而 z = y+u。所以任何其他解都可以通过把来自零空间的向量加上这个单一的特定解 y 来找到。

如果一个线性映射 A 是同构，或等价的说它的行列式在有定义的时候是非零的，则它的零空间是零。这是因为，如果反过来它的零空间是非零，这个映射就不是一一映射了。恒等映射是这种 A 的一个例子。

如果映射是零映射，则零空间同于映射的定义域。

[编辑] 找到一个矩阵的零空间

考虑矩阵

$A=\begin{bmatrix2 & -4 & 4 \\ 2 & -8 & 0 \\ 8 & 4 & -12\end{bmatrix}. \!\,$ }-

要找到它的零空间，须找到所有向量 $v$ 使得 $A v = 0$ 。首先把 $A$ 变换成简约行梯阵形式

$E=\begin{bmatrix}1 & 0 & -4/3 \\ 0 & 1 & -1/3 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}. \!\,$

有 $A v = 0$ 当且仅当 $E v = 0$ 。使用符号 $v = [x, y, z] T$ ，后者方程变为

$\begin{bmatrix}1 & 0 & -4/3 \\ 0 & 1 & -1/3 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}x-4z/3 \\ y-z/3 \\ 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}x=4z/3 \\ y=z/3 \\ 0=0\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}x=4s/3 \\ y=s/3 \\ z=s\end{bmatrix}.$