電磁張量(electromagnetic tensor)或電磁場張量(electromagnetic field tensor)（有時也稱作場強度張量(field strength tensor)、法拉第張量(Faraday tensor)或麦克斯韦雙矢量(Maxwell bivector)）是一個描述一物理系統中電磁場的數學客體，所根據的是麦克斯韦的電磁學理論。場張量是在赫爾曼·閔可夫斯基提出狹義相對論的四維張量形式之後被首次使用。

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數學註記：本文會使用到抽象的指標記號。

電磁張量 $F αβ$ 常表示成如下矩陣形式：

$F_{\alpha\beta} = \begin{bmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix}$

其中

E是電場，

B是磁場，

c是光速。

[编辑] 性質

從場張量的矩陣形式可以見到，其須滿足下列特性：

反對稱性： $F^{\alpha\beta} \, = - F^{\beta\alpha}$ (因此稱作雙矢量(或稱雙矢、二重矢量，bivector))。
零值的跡數或稱對角和。
6個獨立分量—— $E x / c$ 、 $E y / c$ 、 $E z / c$ 、 $B x$ 、 $B y$ 、 $B z$ 。

若將場張量做內積，則可得到一洛侖茲不變量(Lorentz invariant)：

$F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} = \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right) = \mathrm{invariant}$

場張量 $F^{\alpha\beta} \,$ 與對偶張量的乘積則為一偽标量不變量(pseudoscalar invariant)：

$\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}F^{\alpha\beta} F^{\gamma\delta} = \frac{2}{c} \left( \vec B \cdot \vec E \right) = \mathrm{invariant} \,$

其中 $\ \epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} \,$ 為四階完全反對稱單位張量(completely antisymmetric unit tensor)或稱列維-奇維塔符號(Levi-Civita symbol)。注意到場張量的行列式

$\det \left( F \right) = \frac{1}{c^2} \left( \vec B \cdot \vec E \right) ^{2}$

更正式地，可將電磁張量以4-矢量勢 $A^{\alpha} \,$ 寫成：

$F_{ \alpha\beta } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{ \partial A_{\beta} }{ \partial x^{\alpha} } - \frac{ \partial A_{\alpha} }{ \partial x^{\beta} } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\alpha}$

其中4-矢量勢為：

$A^{\alpha} = \left( \frac{\phi}{c} , \vec A \right)$ ，其共变(covariant)形式可以透過乘上閔可夫斯基度規 $\eta \,$ 來得到：

$A_{\alpha} \, = \eta_{\alpha\beta} A^{\beta} = \left( \frac{\phi}{c}, -\vec A \right)$

此處閔可夫斯基度規 $\eta \,$ 的定義為：

$\eta = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

若按照另種使用習慣將閔可夫斯基度規定義為：

$\eta = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

則4-矢量勢的共变形式會是：

$A_{\alpha} \, = \eta_{\alpha\beta} A^{\beta} = \left( -\frac{\phi}{c}, \vec A \right)$

[编辑] 導出電磁張量

為了要導出電磁張量的所有矩陣元素，我們需要定義（時空）導數算符(derivative operator)：

$\partial_{\alpha} = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \vec{\nabla} \right) \,$

以及4-矢量勢：

$A_{\alpha} = \left(\frac{\phi}{c}, -A_x, -A_y, -A_z \right) \,$

其中

$\vec A \,$ 為矢量勢，而 $\left(A_x, A_y, A_z \right)$ 為其分量，

$\phi \,$ 為标量勢，

$c \,$ 為光速；

指標α取值0、1、2、3。

電場與磁場可以透過下面兩個與矢量勢及标量勢的關係式導出：

$\vec{E} = -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \vec{\nabla} \phi \,$

$\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A} \,$

以x分量為例：

$E_x = -\frac{\partial A_x}{\partial t} - \frac{\partial \phi}{\partial x} = c ( {1\over c} \frac{\partial}{\partial t}(-A_x) - \frac{\partial}{\partial x}({\phi\over c}) ) \,$

$B_x = \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \,$

利用這樣的定義，我們可以將上面兩個式子改寫成：

$E_x = c \left(\partial_0 A_1 - \partial_1 A_0 \right) \,$ ，或將c移動到等號左邊： $\frac{E_x}{c} = \partial_0 A_1 - \partial_1 A_0 \,$

$B_x = \partial_2 A_3 - \partial_3 A_2 \,$

在評估過所有分量後，可以得到一個二階、反對稱、共变張量 $F αβ$ ：

$F_{\alpha\beta} = \partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\alpha} \,$

[编辑] 與经典電磁學的關聯

经典電磁學以及麦克斯韦方程组可以從如下定義的作用量推導得出:

$\mathcal{S} = \int \left( -\begin{matrix} \frac{1}{4 \mu_0} \end{matrix} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \right) \mathrm{d}^4 x \,$

其中

$\mathrm{d}^4 x \;$ 是對時間及空間的積分。

這表示拉格朗日量是為

$\mathcal{L} \,$	$= -\begin{matrix} \frac{1}{4\mu_0} \end{matrix} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \,$
	$= -\begin{matrix} \frac{1}{4\mu_0} \end{matrix} \left( \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \right) \left( \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \right) \,$
	$= -\begin{matrix} \frac{1}{4\mu_0} \end{matrix} \left( \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu - \partial_\nu A_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu + \partial_\nu A_\mu \partial^\nu A^\mu \right) \,$

最後一段等號右邊四個項，最左項與最右項相等，因為 $μ$ 與 $ν$ 僅為傀指標；中間兩項也彼此相等。因此拉格朗日量變為

$\mathcal{L} \,$

$= -\begin{matrix} \frac{1}{2\mu_0} \end{matrix} \left( \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu - \partial_\nu A_\mu \partial^\mu A^\nu \right) \,$

我們將之代入場的歐拉-拉格朗日方程:

$\partial_\nu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\nu A_\mu )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} = 0 \,$ 。

第二項為零，因為此情況下的拉格朗日量只含有導數項。因此歐拉-拉格朗日方程變為：

$\partial_\nu \left( \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \right) = 0 \,$ 。

圓括號內的項正是場張量，因此最終可以簡化為

$\partial_\nu F^{\mu \nu} = 0 \,$ 。

此方程僅是寫下兩個齊次麦克斯韦方程的另一條途徑，只要做以下代入：

$~E^i /c \ \ = -F^{0 i} \,$

$\epsilon^{ijk} B^k = -F^{ij} \,$

其中指標 $i \,$ 與 $j \,$ 取值1、2、3。

[编辑] 場張量的重要性

潛藏在看似複雜的張量數學方程外表下的，是對電磁學麦克斯韦方程组所做的巧妙統合。考慮靜電方程(electrostatic equation)

$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$

告訴了我們電場矢量的散度等於電荷密度除以介電常數 $ε 0$ ，而動電方程(electrodynamic equation)

$\vec{\nabla} \times \vec{B} - \frac{1}{c^2} \frac{ \partial \vec{E}}{\partial t} = \mu_0 \vec{J}$

也就是磁場矢量的旋度減掉電場隨著時間變動（取時間微分），等於電流密度乘以磁導率 $μ 0$ 。

這兩個關於電學的方程可以約化成

$\partial_{\alpha} F^{\alpha\beta} = \mu_0 J^{\beta} \,$

其中

$J^{\alpha} = ( c \, \rho , \vec{J} ) \,$ 為4-電流。

同樣的情況也適用在磁學上。若我們考慮靜磁方程(magnetostatic equation)

$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$

告訴了我們沒有「真實」存在的磁荷（磁單極），而動磁方程(magnetodynamics equation)

$\frac{ \partial \vec{B}}{ \partial t } + \vec{\nabla} \times \vec{E} = 0$

告訴了我們磁場隨著時間變動（取時間微分）加上電場的旋度等於零（或是另種講法：電場的旋度等於負的磁場隨著時間變）。若用電磁張量，磁學的方程可以約化成

$F_{ \alpha \beta , \gamma } + F_{ \beta \gamma , \alpha } + F_{ \gamma \alpha , \beta } = 0 \,$ ，

或者利用反對稱化符號——方括號 [] 表示成

$F_{ [\alpha \beta , \gamma] } = 0 \,$ 。

[编辑] 場張量與相對論

場張量其得名理由是因為電磁場須遵守張量变换定律；（非引力場）物理定律具有這樣的普適性質，在狹義相對論誕生之後就被普遍認識到。相對論要求所有（非引力場的）物理定律在所有座標系統中都應具有相同形式，這導致張量的引入。張量形式也使得物理定律能有優美的數學表示方式。舉例來說，電磁學的麦克斯韦方程组可以用場張量寫成：

$F_{[\alpha\beta,\gamma]} \, = 0$

$F^{\alpha\beta}{}_{,\beta} \, = \mu_0 J^{\alpha}$

其中逗號 , 表示對其做偏微分。第二個方程暗示了電荷與電流元的守恆:

$J^\alpha{}_{,\alpha} \, = 0$

在廣義相對論的彎曲時空中，這些定律可用（許多物理學家覺得）吸引人的方式來推廣——就是將偏微分改成共变微分：

$F_{[\alpha\beta;\gamma]} \, = 0$

$F^{\alpha\beta}{}_{;\beta} \, = \mu_0 J^{\alpha}$

其中分號 ; 代表了共变微分，跟上面在平直時空所用的偏微分相互輝映。方程的優美不受改變，僅僅需要將偏微分換成共变微分，這在廣義相對論常見的說法。這樣的方程常被稱作是「彎曲時空下的馬克斯韋方程組」。一樣地，第二個方程暗示著電荷與電流元的守恆(於彎曲時空中)：

$J^\alpha{}_{;\alpha} \, = 0$

[编辑] 在量子電動力學與量子場論中的角色

在量子電動力學中的拉格朗日量(Lagrangian)是從相對論建立的经典拉格朗日量所延伸： $\mathcal{L}=\bar\psi(i\hbar c \, \gamma^\alpha D_\alpha - mc^2)\psi -\frac{1}{4 \mu_0}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta},$ 以將光子以及電子的創生(creation)與湮滅(annihilation)整合進來。

在量子場論中，電磁場強度張量被當作是規範場強度張量的範本。此一項搭配上局部相互作用拉格朗日量(local interaction Lagrangian)，其作用角色與在量子電動力學中幾乎一樣。

[编辑] 相關條目

[编辑] 參考文獻

Brau, Charles A. (2004). Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. ISBN 0-19-514665-4.

Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Perseus Publishing. ISBN 0-201-50397-2.

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