霍普夫-里诺定理

数学中，霍普夫—里诺(Hopf–Rinow)定理是关于黎曼流形的测地完备性的一套等价命题，以海因茨·霍普夫和他的学生维利·里诺命名。定理如下：

设M是黎曼流形，则下列命题等价：

1. M的有界闭子集是紧的。
2. M是完备度量空间。
3. M是测地完备：对M中任意点p，指数映射exp_p可定义在整个切空间T_pM。

而且，以上任一条均可导出对于M中任何两点p和q，存在连起两点的测地线使长度最短（测地线一般是极值，不一定是极小值）。

[编辑] 推广

霍普夫—里诺定理推广至长度度量空间如下：

若一长度度量空间(M,d)是完备和局部紧，那么M中任意两点可以用长度最短的测地线连起，M的任意有界闭子集是紧的。

[编辑] 参考书目

• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-4267-2 See section 1.4.