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餘弦定理

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2个分类: 三角学 | 几何定理

餘弦定理指的是三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和，减去这两边与它们夹角的餘弦的积的 $2$ 倍。勾股定理亦可視為餘弦定理的特殊情況。

餘弦定理用数学语言的表述如下：

在 $\triangle ABC$ 中，记 $A B = c$ ， $B C = a$ ， $A C = b$ ，则有：

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos A

b 2 = c 2 + a 2 - 2 c a cos B

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos C

目录

1 证明
2 应用
- 2.1 求边
- 2.2 求角
3 参见

[编辑] 证明

證明所用的三角形

设 $\triangle ABC$ 中， $A B = c$ ， $B C = a$ ， $A C = b$ 。过 $B$ 点作 $A C$ 的垂线，垂足为 $D$ ，如果 $D$ 在 $A C$ 内部，则 $B D$ 的长度为 $a sin C$ ， $D C$ 的长度为 $a cos C$ ， $A D$ 的长度为 $b - a cos C$ 。根据勾股定理：

c 2 = (a sin C) 2 + (b - a cos C) 2

c 2 = a 2 sin 2 C + b 2 - 2 a b cos C + a 2 cos 2 C

c 2 = a 2 (sin 2 C + cos 2 C) + b 2 - 2 a b cos C

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos C

如果 $D$ 在 $A C$ 的延长线上，证明是类似的。同理可以得到其他的等式。

[编辑] 应用

餘弦定理是解三角形中的一个重要定理。

[编辑] 求边

餘弦定理可以简单地变形成：

$a = \sqrt {b^2 + c^2 - 2bc\cos A}$

$b = \sqrt {c^2 + a^2 - 2ac\cos B}$

$c = \sqrt {a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

因此，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由餘弦定理得出已知角的对边。

[编辑] 求角

餘弦定理可以简单地变形成：

$\cos A = \frac{{b^2 + c^2 - a^2 }}{{2bc}}$

$\cos B = \frac{{c^2 + a^2 - b^2 }}{{2ca}}$

$\cos C = \frac{{a^2 + b^2 - c^2 }}{{2ab}}$

因为餘弦函数在 $\left[ {{\rm{0}},\pi } \right]$ 上的单调性，可以得到：

$\angle A = \arccos \frac{{b^2 + c^2 - a^2 }}{{2bc}}$

$\angle B = \arccos \frac{{c^2 + a^2 - b^2 }}{{2ca}}$

$\angle C = \arccos \frac{{a^2 + b^2 - c^2 }}{{2ab}}$

因此，如果已知三角形的三边，可以由餘弦定理得到三角形的三个内角。

[编辑] 参见

来自“http://www.wikilib.com/wiki/%E9%A4%98%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86”

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