黎曼几何

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微分幾何中，黎曼幾何研究擁有黎曼度量的平滑流形。即是流形切空間上二次方程式的選擇。這特別關心角度,弧線長度及體積。從每一小片加起來得出整體的數量。

在19世紀,般赫·黎曼 (Bernhard Riemann)把這個概念推展開來。好似兩個非歐德幾何的特別例子(球面幾何和雙曲面幾何)。

任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓墣問題。它成為伪黎曼流形複雜結構的入門。當中大部分都是廣義相對論的四維物件。

黎曼幾何是不容易理解的。先要熟悉幾何及以下主題：

1. 度量張量
2. 黎曼流形
3. Levi-Civita連結
4. 曲率
5. 曲率張量

有用文章:

1. 微分幾何主題列表
2. 黎曼及度量幾何詞表

目录 1 黎曼几何古典理論 1.1 普遍理論 1.2 理論 1.2.1 受限截面曲率 1.2.2 正曲率 1.2.2.1 正截面曲率 1.2.2.2 正Ricci曲率 1.2.2.3 標量曲率 1.2.3 負曲率 1.2.3.1 負截面曲率 1.2.3.2 負Ricci曲率 2 參考

[编辑] 黎曼几何古典理論

以下是部分黎曼几何古典理論。

[编辑] 普遍理論

1. Gauss-Bonnet 理論:緊的2維黎曼流形上高斯曲率的积分等於2πχ(M) 這裡的 χ(M) 記作M的Euler 特徵数.
2. 拿殊崁入理論(两个)被稱為黎曼幾何的基礎理論。 他們表明每個黎曼流形可以是崁入歐氏空間 Rⁿ.

[编辑] 理論

在所有以下定理中，我们用空间的局部行为(通常用曲率假设表述)来推出空间的整体结构的一些信息，包括流形的拓扑类型和"足够大"距离的点间的关系。

[编辑] 受限截面曲率

1. 1/4-受限 球定理. 若M是完备n-维黎曼流形，其界面曲率严格限制于1和4之间，则M同胚于n-球。

1. Cheeger's 有限定理. 给定常数C和D，只有有限个(微分同胚的流形算作一个)紧n-维黎曼流形，其截面曲率 并且直径。

1. Gromov的几乎平坦流形. 存在一个ε_n > 0 使得如果一个n-维黎曼流形其度量的截面曲率 且直径，则其有限覆盖微分同胚于一个零流形.

[编辑] 正曲率

[编辑] 正截面曲率

1. Soul定理. 若M是一个不紧的完备正曲率n-维黎曼流形，则它微分同胚于Rⁿ.
2. Gromov的Betti数定理 有一个常数C=C(n) 使得若M是一个由正截面曲率的紧连通n-维黎曼流形，则它的Betti数之和不超过C.

[编辑] 正Ricci曲率

1. Myers定理. 若一个紧黎曼流形有正Ricci曲率则它的基本群有限。

1. 分裂定理. 若一个完备的n-维黎曼流形有非负Ricci曲率和一条直线(在任何区间上的距离都极小的测地线)则它等度同胚于一条实直线和一个有非负Ricci曲率的完备(n-1)-维黎曼流形的直积。

1. Bishop's 不等式. 半径为r的球在一个有正Ricci曲率的完备n-维黎曼流形中的体积不超过欧氏空间中同样半径的球的体积。

1. Gromov's紧致性定理. 所有正Ricci曲率且直径不超过D的黎曼流形在Gromov-Hausdorff度量下是仿紧的。

[编辑] 標量曲率

1. n-维环不存在有正标量曲率的度量。

1. 若一个紧n-维黎曼流形的单射半径，则标量曲率的平均值不超过n(n-1)。

[编辑] 負曲率

[编辑] 負截面曲率

1. 任何有非正截面曲率的单连通黎曼流形的两点有唯一的测地线连接。

1. 若M是一个有负截面曲率的完备黎曼流形，则基本群的任何可交换子群同构于整数群Z。

1. 设V^*是一-rank2的紧致不可约局部对称空间，设V是一截面曲率的紧致黎曼流形，若vol(V) = vol(V ^* )，且π₁(V) = π₍V ^* )，则V与V ^* 等距。

[编辑] 負Ricci曲率

1. 任何有负Ricci曲率的紧黎曼流形有一个离散的等距同胚群。
2. 任何光滑流形可以加入有负Ricci曲率的黎曼度量。

[编辑] 參考

• Marcel Berger, Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century, (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)
• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 (Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)
• Peter Peterson, Riemannian Geometry, (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4. (Provides an introduction, presented at an undergrad level.)