度量张量

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在黎曼幾何裡面，度量張量或稱度規張量，是指一用來衡量度量空间中距離及角度的二階張量。

當选定一個局域座標系統 $x i$ ，度量張量可以矩陣表示，記作為G或g。而 $g i j$ 記號傳統地表示度量張量的協變分量(亦為「矩陣元素」)。以下我們用爱因斯坦求和约定來代表隐含的求和。

一小段弧線長度定义如下，其中参数定為t，t由a到b:

$L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt$

兩個切向量的夾角 $θ$ , $U=u^i{\partial\over \partial x_i}$ 和 $V=v^i{\partial\over \partial x_i}$ ，定義為:

$\cos \theta = \frac{g_{ij}u^iv^j} {\sqrt{ \left| g_{ij}u^iu^j \right| \left| g_{ij}v^iv^j \right|}}$

在歐氏幾何中，為流形平滑崁入導入度量張量，由以下方程式計算得出:

G = J T J

$J$ 表示崁入的雅戈比矩阵(Jacobian)，它的轉置为 $J T$

[编辑] 例子

二維歐幾里德度量張量:

$g_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

弧線長度轉為熟悉微積分方程式:

$L = \int_a^b \sqrt{ (dx^1)^2 + (dx^2)^2}$

在其他座標系統的歐氏度量:

極座標: $(x 1, x 2) = (r,θ)$

$g_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (x^1)^2\end{bmatrix}$

柱極座標: $(x 1, x 2, x 3) = (r,θ, z)$

$g_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

球極座標: $(x 1, x 2, x 3) = (r,φ,θ)$

$g_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (x^1\sin x^2)^2\end{bmatrix}$

平面闵可夫斯基空间: $(x^0, x^1, x^2, x^3)=(t, x, y, z)\,$

$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} \equiv \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

在一些習慣中，與上面相反地，時間t 的度量分量取正號而空間 (x,y,z) 的度量分量取負號，故矩陣表示為：

$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix}$