ARCH模型

ARCH模型(Autoregressive conditional heteroskedasticity model)全称“自回归条件异方差模型”，解决了传统的计量经济学对时间序列变量的第二个假设所引起的问题。这个模型是获得2003年诺贝尔经济学奖的计量经济学成果之一。

[编辑] 起源

传统的计量经济学对时间序列变量的第二个假设：假定时间序列变量的波动幅度(方差)是固定的，不符合实际，比如，人们早就发现股票收益的波动幅度是随时间而变化的，并非常数。这使得传统的时间序列分析对实际问题并不有效。

罗伯特·恩格尔在1982年发表在《计量经济学》杂志（Econometrica）的一篇论文中提出了ARCH模型解决了时间序列的波动性（volatility）问题，当时他研究的是英国通货膨胀率的波动性。

以 $\varepsilon_t$ 表示收益或者收益残差，假设 $\varepsilon_t=\sigma_t z_t$ ，此处 $z_t\sim iid\ N(0,1)$ （即独立同分布，均符合期望为0，方差为1的正态分布）此处序列 $\sigma_t^2$ 建模为

$\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2+\cdots+\alpha_p \varepsilon_{t-p}^2$

（其中 $\alpha_0>0 , \alpha_i\ge 0 , i>0$ ，即各期收益以非负数线性组合，常数项为正数。）

如果方差用ARMA模型表示，则ARCH模型变形为GARCH模型（波勒斯勒夫（Bollerslev），1986年）。

GARCH（p，q）模型为

$\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2+\cdots+\alpha_p \varepsilon_{t-p}^2 +\beta_1 \sigma_{t-1}^2+\cdots+\beta_q\sigma_{t-q}^2$

IGARCH模型对GARCH的参数做了限制。IGARCH（p，q）模型可以表示为：

$\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2+\cdots+\alpha_p \varepsilon_{t-p}^2 +\beta_1 \sigma_{t-1}^2+\cdots+\beta_q\sigma_{t-q}^2$

$\alpha_1+\cdots+\alpha_p+\beta_1+\cdots+\beta_q=1$

ARCH模型能准确地模拟时间序列变量的波动性的变化，它在金融工程学的实证研究中应用广泛，使人们能更加准确地把握风险（波动性），尤其是应用在风险价值（Value at Risk）理论中，在华尔街是尽人皆知的工具。