Beta范式

在 lambda 演算中，一个项是beta 范式(规范型)，如果没有“beta 归约”是可能的。一个项是 beta-eta 范式，如果既没有 beta 归约又没有“eta 归约”是可能的。一个项是头部范式，如果没有“在头部位置的 beta-可规约式”。

[编辑] Beta 归约

在 lambda 演算中，beta 可归约式(redex)是如下形式的项

$((\mathbf{\lambda} x . A(x)) t)$

这里的 $A (x)$ 是(可能)涉及变量 $x$ 的项。

“在头部位置的 beta 归约”是把如下重写规则应用于一个 beta 可归约式

$((\mathbf{\lambda} x . A(x)) t) \rightarrow A(t)$

这里的 $A (t)$ 是把项 $A (x)$ 中变量 $x$ 替换为项 $t$ 的结果。

一个 beta 归约在头部位置，如果它有如下形式:

$\lambda x_0 \ldots \lambda x_{i-1} . (\lambda x_i . A(x_i)) M_1 M_2 \ldots M_n \rightarrow \lambda x_0 \ldots \lambda x_{i-1} . A(M_1) M_2 \ldots M_n$ , where $i \geq 0, n \geq 1$ .

不是这种形式的任何归约都是内部 beta 归约。

一般的说，对于给定项有多个不同的可能的 beta 归约。正规序归约是一种求值策略，它始终应用“头部位置的 beta 归约”的规则，直到没有更多的这种归约是可能的。在这一点上，结果的项是“头部范式”。

相反的，在应用序归约中，首先应用内部归约，而只在没有更多的内部归约是可能的时候应用头部归约。

正规序归约是完备的，在如果一个项有头部范式则正规序归约总是能最终达到它的意义上。相反的，应用序归约可能不终止，即使在这个项有规范形式的时候。例如，使用应用序归约，下列归约序列是可能的:

$(\mathbf{\lambda} x . z) ((\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w))$

$\rightarrow (\lambda x . z) ((\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w))$

$\rightarrow (\lambda x . z) ((\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w))$

$\rightarrow (\lambda x . z) ((\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w))$

$\ldots$

而使用正规序归约，同样的起点迅速的归约到范式:

$(\mathbf{\lambda} x . z) ((\lambda w. w w w) (\lambda w. w w w))$

$\rightarrow z$