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Gateaux导数

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1个分类: 泛函分析

数学上，Gâteaux导数是微分学中的方向导数的概念的推广。它以R. Gâteaux命名，他是一位法国数学家，年青时便死于第一次世界大战。它定义于局部凸的拓扑向量空间上，可以和巴拿赫空间上的Fréchet导数作对比。二者都经常用于形式化泛函导数的概念，常见于物理学，特别是量子场论。和其他形式的导数不同，Gâteaux导数是非线性的。

目录

1 定义
2 属性
3 例子
4 参看

[编辑] 定义

假设 $X$ 和 $Y$ 是局部凸拓扑向量空间，（例如巴拿赫空间）， $U\subset X$ 开，且

$F:X\rightarrow Y.$

$F$ 在 $u\in U$ 点沿着 $\psi\in X$ 方向的Gâteaux导数 $d F (u,ψ)$ 定义为

$dF(u,\psi)=\lim_{\tau\rightarrow 0}\frac{F(u+\tau \psi)-F(u)}{\tau}=\left.\frac{d}{d\tau}F(u+\tau \psi)\right|_{\tau=0}$

如果极限存在。若极限对于所有 $\psi \in X$ 存在，则称 $F$ 在 $u\in U$ 有Gâteaux导数。

称 $F$ 是在 $U$ 中连续可微的若

$dF:U\times X \rightarrow Y$

是连续的。

[编辑] 属性

若Gâteaux导数存在，则其为唯一。

对于每个 $u\in U$ ，Gâteaux导数是一个算子 $dF:X\rightarrow Y.$ 。该算子是齐次的，使得

$dF(u,\alpha\psi)=\alpha dF(u,\psi)\,$ ，但是它通常不是可加的，并且，因此而不总是线性的，不象Fréchet导数。

[编辑] 例子

令 $X$ 为一个在欧氏空间R^N中的勒贝格可测集 $Ω$ 上的平方可积函数的希尔伯特空间。泛函

$E:X\rightarrow \mathbb{R}$

由

$E(u)=\int_\Omega F\left( u(x) \right)dx$

给出，其中 $F$ 是一个实变量的实值函数且 $F'=f\,$ 而 $u$ 定义在 $Ω$ 上取实值，则Gâteaux导数为

$dE(u,\psi)=(f(u),\psi)\,.$

实际上，

$\frac{E(u+\tau\psi) - E(u)}{\tau} = \frac{1}{\tau} \left( \int_\Omega F(u+\tau\psi)dx - \int_\Omega F(u)dx \right)$

$\quad\quad =\frac{1}{\tau} \left( \int_\Omega\int_0^1 \frac{d}{ds} F(u+s\tau\psi) \,ds\,dx \right)$

$\quad \quad =\int_\Omega\int_0^1 f(u+s\tau\psi)\psi \,ds\,dx.$

令 $\tau\rightarrow 0$ (并假设所有积分有定义)，得到Gâteaux导数

$\int_\Omega f(u(x))\psi(x) \,dx,$

也就是，内积 $(f(u),\psi).\,$

[编辑] 参看

导数 (推广)

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