Krull維度

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3个分类: 交換代數 | 代数几何 | 来自中文维基百科

在交換代數中，一個環的Krull維度定義為素理想鏈的最大長度。此概念依數學家 Wolfgang Krull（1899年-1971年）命名。

[编辑] 定義

設交換環 $R$ 中有 $n + 1$ 個素理想 $P_0, \ldots, P_n$ ，使得

$P_0\subsetneq P_1\subsetneq \ldots \subsetneq P_n$

則稱之為長度為 $n$ 的素理想鏈，一個無法插入新的素理想的鏈被稱作極大的。 $R$ 的Krull維度定義為素理想鏈的最大可能長度，這也等於是 $R$ 中素理想的最大可能高度。

根據定義， $R$ 的維度與對素理想的局部化有下述關係

$\dim R = \sup \{ \dim R_\mathfrak{p} : \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}R \}$

其中 $Spec R$ 表 $R$ 的所有素理想所成集合。我們也可以僅考慮為極大理想的 $\mathfrak{p}$ 。當 $R$ 為鏈環時，對各極大理想的局部化皆有相同維度；代數幾何處理的交換環通常都是鏈環。

[编辑] 例子與性質

例如在環 $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})[X,Y,Z]$ 中可考慮以下的素理想鏈

$(2) \subsetneq (2,x) \subsetneq (2,x,y) \subsetneq (2,x,y,z)$

因此 $\dim (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})[X,Y,Z] \geq 3$ ；事實上可證明其維度確實為 3。以下是Krull維度的幾個一般性質：

零維的整環是域。
離散賦值環與戴德金域是一維的。
若 $dim R = k$ ，則 $k+1 \leq \dim R[X] \leq 2k+1$ ；當 $R$ 為諾特環時則 $dim R [X] = k + 1$ 。
若 $k$ 為域，則 $\dim k[X_1, \ldots, X_n] = n$ 。
若 $B$ 為 $A$ -代數，同時又是有限生成的 $A$ -模，則 $dim B = dim A$ 。

[编辑] 與幾何的關係

在代數幾何中，一個概形的維度被定義為各局部環的 Krull 維度的上確界；對於仿射概形 $X = Spec A$ ，則回歸到 $dim X = dim A$ 。

設 $k$ 為域， $R$ 是有限型 $k$ -整代數，這是代數幾何中的主要案例。根據諾特正規化引理，存在非負整數 $d$ 及 $R$ 中彼此代數獨立的元素 $x_1, \ldots, x_d$ ，使得 $R$ 是有限生成之 $k[x_1, \ldots, x_d]$ -模，因此 $dim R = d$ 。從幾何觀點看， $Spec R$ 此時是 $\mathbb{A}^d_k$ 的有限分歧覆蓋，因而 Krull 維度確實合乎下述幾何直觀：