Lp空间

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在数学中， L^p空间是由p次可积函数组成的空间；对应的l^p空间是由 p次可和序列组成的空间。在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了Banach空间一类重要的例子。

L^p空间在工程学领域的有限元分析中有应用。

目录 1 由来 2 特例 3 Lp空间的性质 3.1 嵌入 4 参见 5 注释 6 外部链接

[编辑] 由来

考虑n维实向量空间 Rⁿ。 其中向量的加法由下式给出：

数乘为下式：

向量的长度通常如下定义：

但这不是定义长度的惟一方法。如果p 是一个实数， p≥1，对任意可定义：

。

这表明这种方式定义的长度函数仍然满足范数的三条性质：

1. 长度为0的向量只有0向量；
2. 向量的长度函数对数乘线性；
3. 满足三角不等式（这由闵可夫斯基不等式保证）。

可以证明，对任意的p≥1， Rⁿ以及上面的p范数就定义了一个Banach空间。

[编辑] 特例

最重要的例子是 p = 2， 比如 空间，L²空间是Hilbert空间，在 傅立叶级数 和量子力学以及其他领域有着重要的运用。

[编辑] L^p空间的性质

如果1 ≤ p ≤ ∞，那么闵可夫斯基不等式，可以用Hölder不等式证明， 建立了 L ^p(S)中的三角形不等式。利用Lebesque积分的收敛定理，可以证明L ^p(S)是完备的，从而是Banach空间。（这里引入Lebesque积分很重要，而不能使用黎曼积分。）

[编辑] 嵌入

假设区域S具有有限测度, 以及 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞。 那么由Hölder不等式有如下限制：

从而， 空间L^q 嵌入L^p。

由此可知，对区域S没有任何限制，嵌入

成立，这里右边的空间为S上的局部可积函数。

[编辑] 参见

• Hardy空间
• Hölder平均
• Hölder空间
• 均方根

[编辑] 注释

• Adams, Robert A. (1975). Sobolev Spaces. New York: Academic Press. ISBN 0-12-044150-0. 

[编辑] 外部链接

• PlanetMath上Proof that L^p spaces are complete的資料。pms:Spassi Lp