Midy定理

Midy定理說明若有質數 $p$ 、少於 $p$ 的正整數 $a$ 、大於1的正整數 $b$ 和任意正整數 $n$ ，

使得 $a / p$ 在 $b$ 進位制內的循環節長度是 $2 n$ ，且將這個分數用循環小數寫成 $0.\overline{a_1a_2a_3...a_na_{n+1}...a_{2n}}$ ，則有以下結論：

a i + a i + n = b - 1

$a_1\dots a_n+a_{n+1}\dots a_{2n}=b^n-1.$

這個定理還可再作推廣：若 $k$ 是 $l$ 的正因數，則 $a 1 a 2 ... a k + a k + 1 a k + 2 ... a 2 k + ... + a l - k + 1 a l - k + 2 ... a l$ 是 $b k - 1$ 的倍數。

[编辑] 例

$\frac{1}{17}=0.\overline{0588235294117647}\mbox{ and } 05882352+94117647=99999999.$

$\frac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421}$

052631578 + 947368421 = 999999999

052631 + 578947 + 368421 = 999999

$052+631+578+947+368+421=2997=3\times999.$

$\frac{1}{19}=0.\overline{032745}_8$

0328 + 745 8 = 777 8

038 + 27 8 + 45 8 = 77 8 .